Algèbre générale de base

• Modules sur un anneau.
• Algèbre linéaire : modules, sous-modules, quotients, familles libres, génératrices, bases. Cas des espaces vectoriels. Réseaux. Produit tensoriel de modules et d’algèbres (existence et propriété universelle).
• Matrices. Opérations élémentaires. Forme réduite échelonnée par lignes (dans un corps), forme de Hermite (anneau euclidien) ; forme de Smith (anneau euclidien). Application aux groupes abéliens de type fini et à la réduction des endomorphismes.
• Théorie de Galois.
• Extensions de corps (éléments algébriques, éléments transcendants d’une extension), corps de rupture, de décomposition ; corps algébriquement clos, existence d’une clôture algébrique.
• Corps finis (extensions de corps, corps finis, groupe multiplicatif d’un corps fini), polynômes irréductibles sur un corps fini.
• Théorie de Galois (jusqu’à la correspondance). Groupes résolubles et résolubilité par radicaux. Constructions à la règle et au compas. Polygones réguliers. Extensions cycliques.

Sylvain Duquesne est professeur en Mathématiques à l’Université de Rennes 1 depuis le 1er septembre 2008 et actuel directeur de l’IRMAR. Son domaine de recherche concerne la théorie des nombres et plus particulièrement l’arithmétique et l’algorithmique sur les courbes algébriques, ainsi que les applications en cryptographie. Il participe au projet SafeTLS soutenu par l’ANR.

Vincent Guirardel est professeur à l’Université de Rennes 1, membre de l’Institut universitaire de France et directeur du Centre Henri Lebesgue.

Fabien Narbonne est étudiant en thèse depuis octobre 2018 sous la direction de Christophe Ritzenthaler dans l’équipe de géométrie effective. Sa thèse porte sur l’aspect effectif des courbes de genre 3 sur les corps finis.