Théorie des nombres

Description du cours

Le programme commence par le théorème de réciprocité quadratique, qu’on pourra traiter en utilisant la théorie des extensions de corps vue en ALGB. On fera ensuite la théorie de Galois appuyée par un certain nombre d’exemples. Après un chapitre sur les réseaux euclidiens et la recherche de vecteurs courts avec le théorème de Hermite ou Minkowski, on abordera les anneaux d’entiers d’un corps de nombres avec leurs plongements réels et complexes, avec comme objectif la preuve du théorème des unités. On traitera en détail les exemples des extensions quadratiques.

1. Réciprocité quadratique
   1. Symboles de Legendre et Jacobi
   2. Preuve de la réciprocité
2. Théorie de Galois
   1. (extension de rupture et de décomposition connues). Théorème de l’élément primitif
   2. Théorème de correspondance
   3. Résolubilité par radicaux
   4. Exemples : corps finis, extensions quadratiques, extensions cyclotomiques, voire extensions de Kummer
3. Géométrie des nombres, réseaux
   1. Caractérisation des réseaux comme sous-groupes discrets cocompacts
   2. Covolumes, lien avec l’indice d’un sous-réseau
   3. Théorèmes de Hermite et/ou Minkowski
   4. Théorèmes des 2 et 4 carrés
4. Entiers algébriques
   1. Entiers algébriques, anneau des entiers d’un corps de nombres, c’est un Z-module de type fini
   2. Exemples : entiers de Gauss, d’Eisenstein, Z[p2], entiers quadratiques, leurs unités, caractère euclidien
   3. Les anneaux d’entiers quadratiques
   4. Plongements réels et complexes d’un corps de nombres, et conjugués de Galois
   5. Les entiers comme un réseau
5. Trace, norme, théorème des unités
   1. Trace et norme
   2. Énoncé du théorème des unités, exemple des entiers quadratiques
   3. Preuve du théorème des unités

En fonction du temps disponible, des compléments possibles, par exemple en TD, sont :

• Discriminant et application à la détermination algorithmique de OK
• Factorisation des idéaux, groupe de classes
• Corps p-adiques.

Compétences à acquérir

• Utilisation des extensions de corps pour résoudre des problèmes algébriques.
• Utiliser la géométrie du plongement euclidien de l’anneau des entiers, ainsi que les notions de trace et de norme pour en déduire des propriétés algébriques.

Biographie de l’enseignant

Florian Ivorra est maître de conférences à l’Université de Rennes.